hdu 4686 Arc of Dream(矩阵快速幂）

链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4686

题意：

其中a₀ = A0
a_i = a_i-1*AX+AY
b₀ = B0
b_i = b_i-1*BX+BY

最后的结果mod 1,000,000,007

n<=10^18.

分析：ai*bi=(ai-1 *ax+ay)*(bi-1 *bx+by)

                =(ai-1 * bi-1 *ax*bx)+(ai-1 *ax*by)+(bi-1 *bx*ay)+(ay*by)

设p=ax*bx,  q=ax*by,  r=ay*bx,  s=ay*by

所以ai*bi=p(ai-1 * bi-1)+q(ai-1)+r(bi-1)+s

虽然可以用递推来求出每一项，但是n太大了，直接求绝对会超时的。

设f(n)=an*bn,  a(n)=an,  b(n)=bn

s(n)=sum(ai*bi),i=0,1,...n

则f(i)=p*f(i-1)+q*a(i-1)+r*b(i-1)+s

这是一个递推式，对于任何一个递推式，我们都可以用矩阵法来优化，加快速度求出第n项或前n项和。

我们可以构造一个5*5的矩阵A，使得

【f(n-1),a(n-1),b(n-1),1,s(n-2)】*A=【f(n),a(n),b(n),1,s(n-1)】

=【p*f(n-1)+q*a(n-1)+r*b(n-1)+s, a(n-1)*ax+ay, b(n-1)*bx+by, 1, s(n-2)+f(n-1)】

所以我们容易得出矩阵A： 【   axbx    0   0   0   1

                                          axby   ax   0   0   0

                                          aybx    0   bx  0   0

                                         ayay   ay  by   1   0

                                         0         0    0    0   1 】

由【f(1), a(1) ,b(1), 1, s(0)】*A = 【f(2), a(2), b(2), 1, s(1)】

以此类推得，【f(1), a(1) ,b(1), 1, s(0)】*A^(n-1) = 【f(n), a(n), b(n), 1, s(n-1)】

这样就可以快速的求出s(n-1)了，

其中f(1)=a1*b1, a(1)=a0*ax+ay,

b(1)=b0*bx+by, s(0)=a0*b0

接下来就是矩阵快速幂了。

注意：n==0时，直接输出0，不然会死循环TLE的，还有就是要用long long,也要记得mod

AC代码如下：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
//#define LL __int64
#define LL long long
#define M 1000000007
struct Matrix
{
    LL a[6][6];
}origin,res,tmp,A,ans;
int n;
Matrix mul(Matrix x,Matrix y)
{
    int i,j,k;
    memset(tmp.a,0,sizeof(tmp.a));
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++)
            for(k=1;k<=n;k++)
            {
                tmp.a[i][j]+=(x.a[i][k]*y.a[k][j])%M;
                tmp.a[i][j]%=M;
            }
    return tmp;
}
void quickpow(LL k)
{
    int i;
    memset(res.a,0,sizeof(res.a));
    for(i=1;i<=n;i++)
        res.a[i][i]=1;
    while(k)
    {
        if(k&1)
            res=mul(res,A);
        A=mul(A,A);
        k>>=1;
    }
}
int main()
{
    LL N,a0,ax,ay,b0,bx,by;
    LL f1,a1,b1,s0;
//    while(scanf("%I64d %I64d %I64d %I64d %I64d %I64d %I64d",&N,&a0,&ax,&ay,&b0,&bx,&by)!=EOF)
    while(scanf("%lld %lld %lld %lld %lld %lld %lld",&N,&a0,&ax,&ay,&b0,&bx,&by)!=EOF)
    {
        if(N==0)
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        a1=(a0*ax+ay)%M;
        b1=(b0*bx+by)%M;
        f1=(a1*b1)%M;
        s0=(a0*b0)%M;
        n=5;
        memset(origin.a,0,sizeof(origin.a));
        origin.a[1][1]=f1;
        origin.a[1][2]=a1;
        origin.a[1][3]=b1;
        origin.a[1][4]=1;
        origin.a[1][5]=s0;
        memset(A.a,0,sizeof(A.a));
        A.a[1][1]=(ax*bx)%M;
        A.a[1][5]=1;
        A.a[2][1]=(ax*by)%M;
        A.a[2][2]=ax%M;
        A.a[3][1]=(ay*bx)%M;
        A.a[3][3]=bx%M;
        A.a[4][1]=(ay*by)%M;
        A.a[4][2]=ay%M;
        A.a[4][3]=by%M;
        A.a[4][4]=1;
        A.a[5][5]=1;

        quickpow(N-1);
        ans=mul(origin,res);
    //    printf("%I64d\n",ans.a[1][5]);
        printf("%lld\n",ans.a[1][5]);
    }
    return 0;
}