2. 向量及其线性运算

2.1 向量

• 既有大小又有方向的量称为向量。可以用希腊字母$\alpha ,\beta ,\gamma ,...$表示，也可以用起点A和终点B表示成$\overrightarrow{AB}$
• 向量平移不变，与起点和终点的具体位置无关。
• 零向量$0$的方向是任意的，规定零向量$0$平行于任意一个向量。
• 向量$\alpha$的大小用$|\alpha |$表示。

2.2 向量的线性运算

2.2.1 向量的加法

• 三角形法则，平行四边形法则，向量加法的结果还是向量。（还有高中的时候的记忆，不详细记了）
  

• 向量的加法满足
  （1）交换律$\alpha +\beta =\beta +\alpha$；
  【证】若$\alpha$与$\beta$不平行，则
  $\overrightarrow{AB}=\alpha =\overrightarrow{DC}$
  $\beta +\alpha =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}=\alpha +\beta$
  若$\alpha$与$\beta$平行（也是自己想的证明，欢迎数院大佬批评指正），则$\alpha =k\beta ,k$为任意常数，则
  $\alpha +\beta =(k+1)\beta$
  $\beta +\alpha =(k+1)\beta =\alpha +\beta$
  （2）结合律：
  $(\beta +\alpha )+\gamma =\beta +(\alpha +\gamma )$
  

2.2.2 向量的数乘

• $\lambda \alpha =\{\begin{array}{ll}-(|\lambda |\alpha ),& \lambda <0\\ |\lambda |\alpha ,& \lambda \ge 0\end{array},\lambda \in \mathbb{R}$（向量的数乘结果还是一个向量）
  $|\lambda \alpha |=|\lambda ||\alpha |$
• $\lambda \alpha$的方向：$\alpha //\lambda \alpha$，当$\lambda >0,\lambda \alpha$与$\alpha$同向，当$\lambda <0,\lambda \alpha$与$\alpha$反向
• 向量数乘的性质：
  $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$
  （1）$\lambda \alpha =0\iff \lambda =0或\alpha =0$；
  （2）$1\cdot \alpha =\alpha ,-1\cdot \alpha =-\alpha$
  （3）$(\lambda \mu )\alpha =\lambda (\mu \alpha )$
  【证】不妨设$\lambda ,\mu \ne 0,\alpha \ne 0$
  $|(\lambda \cdot \mu )\alpha |=|\lambda \cdot \mu |\cdot |\alpha |=|\lambda |\cdot |\mu |\cdot |\alpha |$
  $\lambda (\mu \alpha )=|\lambda |\cdot |\mu \alpha |=|\lambda |\cdot |\mu |\cdot |\alpha |=|(\lambda \cdot \mu )\alpha |$
  $\lambda ,\mu$同号或异号都不改变等式两边向量的方向，故$(\lambda \mu )\alpha =\lambda (\mu \alpha )$
  （4）$(\mu +\lambda )\alpha =\mu \alpha +\lambda \alpha$
  【证】不妨设$\lambda ,\mu \ne 0,\alpha \ne 0$
  如果$\lambda$与$\mu$同号，不妨设$\lambda >0,\mu >0$
  $|(\lambda +\mu )|\alpha =|\lambda +\mu |\cdot |\alpha |=(\lambda +\mu )|\alpha |=\mu |\alpha |+\lambda |\alpha |$
  $|\mu \alpha +\lambda \alpha |$，由于$\lambda >0,\mu >0$，方向一致，加法相当于两个长度叠加，故
  $|\mu \alpha +\lambda \alpha |=|\mu \alpha |+|\lambda \alpha |=\mu |\alpha |+\lambda |\alpha |$
  如果$\lambda$与$\mu$异号，不妨设$\lambda >0,\mu <0,\lambda +\mu >0$
  $(\mu +\lambda )\alpha -\mu \alpha =(\mu +\lambda )\alpha +(-\mu \alpha )=\lambda \alpha$
  则$\mu +\lambda >0,-\mu >0$
  回到第一种情况同理可证。
  （5）$\lambda (\alpha +\beta )=\lambda \alpha +\lambda \beta$
  【证】如果$\alpha //\beta$，存在一个$\mu$使得$\alpha =\mu \beta$
  于是$\lambda (\alpha +\beta )=\lambda (\mu \beta +\beta )=\lambda (\mu +1)\beta =(\lambda \mu +\lambda )\beta$
  右边$\lambda \alpha +\lambda \beta =(\lambda \mu +\lambda )\beta$
  左边等于右边
  如果$\alpha$与$\beta$不平行